以下、No.2715に再掲したかつてのコメントを詳しくしたもの。
——
一 前々回のNo.2714に再掲したM·ウェーバーの叙述を、秋月瑛二はたぶんほぼ正確に理解することができた。M·ウェーバー＜音楽社会学＞に接する前に、ピタゴラス音律、純正律、十二等分平均律について、すでにかなり知っていたからだ。
だが、日本の音楽大学出身者も含めて、いかほど容易にM·ウェーバーの、1911年〜12年に執筆されたとされる文章（のまさに冒頭）〔前々回に再掲〕の意味を理解することができるか、かなり怪しいと思っている。
上のコメントをさらに詳しくしておこう。
--------
二 １ n／(n＋1)では（前者が分母だと理解しないかぎりは）「過分数」にならないから（この点、M·ウェーバーは「逆数」で語っているとの説明もある）、(n＋1)／nのことだと理解しておこう。
M·ウェーバーはこう叙述する。「いま或る開始音から出発して、まず最初はオクターヴで、次に5度、4度、あるいは過分数によって規定された他の何らかの関係で「圏」状に上行または下行すると、この手続をたとえどこまで続けても、これらの分数の累乗が同一の音に出くわすことはけっしてありえない」。
「最初はオクターブで」とは、「ある開始音」の音波数（周波数）を2倍、4倍、〜、1／2倍、1／4倍、〜、としてみることだろう。これらの場合、音の（絶対的）「高さ」は変わっても、「オクターブ」の位置が変わるだけで、ヒトの通常の聴感覚では、きわめてよく「調和」・「協和」する＜同じ＞音に聴こえる。これは、ホモ・サピエンス（人類）の生来の＜聴覚＞からして、自然のことだろう。
だが、「同じ」音ではなく、「異なる」音を一オクターブの中に設定しようとする場合に、種々の問題が出てくる。
M·ウェーバーが「次に5度、4度、あるいは過分数によって規定された他の何らかの関係で」という場合の「5度」とは＜3／2＞を、「4度」とは＜4／3＞を、意味していると解される。
脱線するが、興味深いことに今日の〈十二平均律〉の場合でも、日本の音楽大学出身者ならよく知っているだろうが、「完全5度」、「完全4度」という概念・言葉が用いられている（「完全2度」や「完全3度」等々はない）。しかし、その数値は「完全1度」（＝従前と同じ音）の音波数の＜3／2＞や＜4／3＞ではない。もっとも、このような用語法が残っているということ自体、〈ピタゴラス音律〉が果たした歴史的意味の大きさを示しているだろう、と考えられる。
M·ウェーバーがつづけて「過分数によって規定された他の何らかの関係で」というのは、上の(n＋1)／nのn が2、3の場合が＜3／2＞、＜4／3＞だから、nを増やしていって、＜5／4＞、＜6／5＞等々を意味しているのだろう。但し、主要な場合として＜3／2＞、＜4／3＞を、とくに＜3／2＞を、想定していると見られる。
さて、M·ウェーバーによると、これらの新しい数値を選んで、①＜「圏」状に上行または下行すると＞、②「この手続をたとえどこまで続けても、これらの分数の累乗が同一の音に出くわすことはけっしてありえない」。
この①の明記が、日本でよく見られる〈ピタゴラス音律〉に関する説明には欠けている観点だ。
だからこそ、「何らかの関係で『圏』状に上行または下行すると…」との部分は「今日の日本でのピタゴラス音律の説明について秋月瑛二が不満を感じてきたところを衝いていると思える」、とNo.2641で記した。
その趣旨を詳しく記述しなかったのだが、以下のようなことだ。
わが国で通常に見られる〈ピタゴラス音律〉に関する説明は、ほぼもっぱら「上行」の場合のみで説明をし、「下行」の場合をほとんど記述していない。
上の②にあるように、「この手続をたとえどこまで続けても、これらの分数の累乗が同一の音に出くわすことはけっしてありえない」のだが、「『圏』状」での「上行」の場合は「ピタゴラス・コンマ」は必ずプラスの数値になる。「圏」という語を使うと、「圏」または「円環」上の位置が進みすぎて、元の音よりも（例えばちょうど1オクターブ上の音よりも）少し「高く」なる。
したがって、日本でのほとんどの説明では、「ピタゴラス・コンマ」はつねにプラスの数値になる。
しかし、「『圏』状」での「下行」の場合は「ピタゴラス・コンマ」は必ずマイナスの数値になる。すなわち、「圏」または「円環」上の位置が元の音よりも（例えばちょうど1オクターブ上の音よりも）少し「低く」なる。「圏」または「円環」上の位置が進み「すぎる」のではなく、進み方が少し「足らない」のだ。
なお、今回は立ち入らないが（すでに本欄で言及してはいるのだが）、「上行」と「下行」の区別が明確でないと、「ある開始音」をＣ＝1とした場合のＦの音の数値を明確に語ることができない。「下行」を用いてこそＦは4／3になるのであり、「上行」では4／3という簡素な数値には絶対にならない。
**「下行」の場合の計算過程と「マイナスのピタゴラス・コンマ」について、→No.2656／2023-08-04。
——
２ M·ウェーバーはこう叙述した。「例えば、（2／3）12乗にあたる第十二番目の純正5度は、（1／2）7乗にあたる第七番目の8度よりもピュタゴラス・コンマの差だけ大きいのである」。
上の「（2／3）12乗」は＜3／2＞の12乗のこと、「（1／2）7乗」は＜2／1＝2＞の7乗のこと、だと考えられる。また「第七番目の8度」とは＜7オクターブ上の同じ音＞だと解される。たんに「8度」上の音とは1オクターブだけ上の「同じ」音を意味するからだ（こういう「8度」の用語法は、〈十二平均律〉が支配する今日でも見られる）。
こう理解して、実際に上の計算を行ってみよう。本当に「…よりもピュタゴラス・コンマの差だけ大きい」のか。
ここで先に、秋月がすでに行っている、（プラスの）ピタゴラス・コンマの計算結果を示しておく。
昨2023年年の8月に、この欄に示したものだ。そのまま引用はせず（×(3／2)ではなく×3÷2という表記の仕方をしていることにもよる）、表記の仕方をやや変更する（計算結果はむろん同じ）。参照、→No.2655／2023-08-03。
M·ウェーバーの叙述の仕方と異なり、わが国で通常のように、(3/2)を乗じつつ、＜1と2の間の数値になるように＞、必要な場合にはx(1/2)の計算を追加する。但し、⑫は2を少しだけ超えるが、ほとんど2だとして、そのままにする。
********
⓪ 1。
① 1x(3/2)＝3/2。
② 3/2x(3/2)x(1/2)＝9/8。
③ 9/8x(3/2)＝27/16。
④ 27/16x(3/2)x(1/2)＝81/64。
⑤ 81/64x(3/2) ＝243/128。
⑥ 243/128x(3/2)x(1/2)＝729/512。
⑦ 729/512x(3/2)x(1/2)＝2187/2048。
⑧ 2187/2048x(3/2)＝6561/4096。
⑨ 6581/4096x(3/2)x(1/2)＝19683/16384。
⑩ 19683/16384x(3/2)＝59049/32768。
⑪ 59049/32768x(3/2)x(1/2)＝177147/131072。
⑫ 177147/131073x(3/2)＝531441/262144。
********
この⑫が、「（3／2）の12乗にあたる『第十二番目の純正5度』」の数値に該当する。
ところで、迂回してしまうが、上のような計算の過程で、ほぼ1オクターブ（1とほぼ2）のあいだに、異なる高さの12個の音が発見されていることになる。⓪〜⑪の12個、または①〜⑫の12個だ。このことこそが、1オクターブは12の異なる音から成る、という、今日でも変わっていないことの、出発点だった。
その異なる12個の音は任意の符号・言語で表現できる。⓪＝1を今日によく用いられるC〜G,A,BのCとし、さらに（説明としては飛躍するが）C〜G,A,Bの7「幹音」以外の5音を♯を付けて表現すると、つぎのようになる。以下のアルファベット符号（+♯）が示す音の高さ（音波数）は、今日で支配的な〈十二平均律〉による場合と（C＝1を除いて）一致していない。また、以下は〈上行〉系または〈♯〉系の12音階だ。
⓪＝C、⑦＝C♯、②＝D、⑨＝D♯、④＝E、⑪＝F〔注:♯系だと4/3ではない〕、⑥＝F♯、①＝G、⑧＝G♯、③＝A、⑩＝A♯、⑤＝B、⑫＝C'。
*********
迂回してしまったが、あらためて、⓪と⑫の比、同じことだが上に記したCとC'の比、を求めてみよう。
分数形の数字はすでに出ている。つまり、531441／262144。
これを電卓で計算すると、小数点以下10桁までで、こうなる。2.0272865295。
2にほぼ近く、2と「見なして」よいかもしれない。しかし、正確には少し大きい。
ちょうど2との比は、小数点以下10桁までで（以下切り捨て）、2.0272865295／2＝1.0136432647.
これの端数、つまり 0.0136432647 が、プラスのピタゴラス・コンマだ。
M·ウェーバーにおける①「（3／2）の12乗にあたる『第十二番目の純正5度』」と②「第七番目の8度」という表現の仕方に忠実に従うと、つぎのようになる。
小数点以下9桁までで区切る。
①「（3／2）12乗」＝3の12乗／2の12乗＝531441／4096＝129.746337891.
②「第七番目の8度」＝「2／1（＝2）の7乗」＝128.
これら①と②は、相当に近似しているが同一ではない。
差異または比は、つぎのとおり。小数点以下10桁まで（以下切り捨て）。
129.746337891／128＝1.0136432647.
端数は、0.0136432647. これは、上での計算の結果と合致している。
——
３ 以上のとおりで、「5度」＝(3／2)の乗数音は2（1オクターブ）の乗数音とは、「手続をたとえどこまで続けても、…同一の音に出くわすことはけっしてありえない」。
そして、「〔3/2の〕12乗にあたる第十二番目の純正5度は、〔2の〕7乗にあたる第七番目の8度よりもピュタゴラス・コンマの差だけ大きいのである」（M·ウェーバー）。
だがしかし、(3／2)の12乗数が2の7乗数に相当に近づくことも確かだ。
言い換えると、1と2の範囲内に、またはほぼ2になるように、(3／2)の乗数に1／2を掛ける、ということを続けると、12乗めで、2に相当に近づく。
このことが、繰り返しになるが、1オクターブは異なる12音で構成される、ということの、「12」という数字の魔力・魅力に助けられての、出発点になった。10音でも、15音でもない。
——
三 以上では、引用した（再掲した）M·ウェーバーの叙述の三分の一ほどを扱ったにすぎない。
彼はつづけてこう叙述する。
１ 「西欧の和音和声的音楽が音素材を合理化する方法は、オクターヴを5度と4度に、次に4度はいちおうどけておいて、5度を長3度と短3度に（(4／5)×(5／6)＝2／3）、長3度を大全音と小全音に（(8／9)×(9／10)＝4／5）、短3度を大全音と大半音に（(8／9)×(15／16)＝5／6）、小全音を大半音と小全音に（(15／16)×(24／25)＝9／10）、算術的ないし和声的に分割することである。
以上の音程は、いずれも、2、3、5という数を基にした分数によって構成されている。」
さて、「4度はいちおうどけておいて、5度を長3度と短3度に（(4／5)×(5／6)＝2／3）、長3度を大全音と小全音に（(8／9)×(9／10)＝4／5）、短3度を大全音と大半音に（(8／9)×(15／16)＝5／6）、小全音を大半音と小全音に（(15／16)×(24／25)＝9／10）、算術的ないし和声的に分割する」とは、いったいどういうことか。
No.2641のコメントでは、こう触れた。「純正律は『2と3』の世界であるピタゴラス音律に対して『5』という数字を新たに持ち込むものだ。そして、今日にいう＜C-E-G＞等の和音については、ピタゴラス音律よりも（＜十二平均律＞よりも）、協和性・調和性の高い音階または『和音』を形成することができる」。
つまり、上のM·ウェーバーの叙述は、（1を除けば）2と3という数字のみを用いていた〈ピタゴラス音律〉に対して「『5』という数字を新たに持ち込む」ことでさらなる「合理化」を図る方法が発展した、と言っている。
この「西欧の和音和声的音楽が音素材を合理化する方法」とは、M·ウェーバーはこの用語を用いていないが、〈純正律〉という音律のことだ。
M·ウェーバーは詳しく、こう説明している。
「5度を長3度と短3度に（(4／5)×(5／6)＝2／3）、長3度を大全音と小全音に（(8／9)×(9／10)＝4／5）、短3度を大全音と大半音に（(8／9)×(15／16)＝5／6）、小全音を大半音と小全音に（(15／16)×(24／25)＝9／10）、算術的ないし和声的に分割する」。
さらに、つぎのようにも補足している。
「まず『主音』と呼ばれる或る音から出発し、次に、主音自身の上と、その上方5度音および下方5度音の上に、それぞれ二種類の3度で算術的に分割された5度を、すなわち標準的な『三和音』を構成する。
そして次に、三和音を構成する諸音（ないしそれらの8度音）を一オクターヴ内に配列すれば、当該の主音を出発点とする『自然的』全音階の全素材を、残らず手に入れることになる。」
--------
２ 以上の叙述の意味を詳細に説明することは必ずしも容易ではない。
ここでは、つぎのようにコメントしておこう。
「4度はいちおうどけておいて」とは、とりあえず（4／3）には拘泥しないで、という意味だ。
そして、この〈純正律〉では、あくまで今日によく用いれれている符号を利用するだけだが、C-E-G（ド-ミ-ソ）の和音を重視する。
なぜそうしたかの理由は、秋月の推測になるが、〈ピタゴラス音律〉でのC-E-G（ド-ミ-ソ）の和音に満足できなかった人々も多かった、ということだろう。
〈ピタゴラス音律〉でC-E-G（ド-ミ-ソ）の和音の三音は、上に示した表から導けば、つぎのような音波数（高さ）の並びになる。①C(ド)＝1、②E(ミ)＝81/64、③G(ソ)＝3/2。
とくに②E(ミ)について、これ以上に簡潔に表現される数値にすることができない。
これに対して、〈純正律〉は、これら三音を、つぎのように構成する。
①C(ド)＝1、②E(ミ)＝80/64＝10/8＝5/4、③G(ソ)＝3/2。
①と③は変わらないが、②を、81/64ではなく、80/64＝10/8＝5/4へと、1/64だけ小さくする。
そうすると、①C(ド)、②E(ミ)、③G(ソ)の三音は、①1、②5/4、③3/2、という並びになる。
各音の比に着目すると、②5/4＝①1×(5/4)、③3/2＝②5/4×(6/5)、だ。三音はそれぞれ、1、1×(5/4)、(5/4)×(6/5)。
つまり、①C(ド)、②E(ミ)、③G(ソ)の三音は、４-５-６という前者比関係に立つことになる。
これが、秋月のかつてのコメントで、「純正律は『2と3』の世界であるピタゴラス音律に対して「5」という数字を新たに持ち込むものだ」と記したことの意味だ。
この４-５-６という三音関係は、〈純正律〉では、α①C(ド)、②E(ミ)、③G(ソ)のみならず、β①Ｆ(ファ)、②A(ラ)、③C(上のド)、θ①G(ソ)、②B(シ)、③D(上のレ)へも適用される。
余談ながら、秋月が学んだかつての音楽教科書には、ドミソ・ドファラ・シレソが＜長調の三大和音＞だとされていた。
だが、上に記したように、この「三大和音」は実質的には同じ三音関係だ。すなわち、４-５-６の三音関係の順番を少し変更しただけのことだ（ファラド→ドファラ、ソシレ→シレソ）。
M·ウェーバーは、「5度音」を「二種類の3度で算術的に分割された5度」という叙述の仕方をし、「二種類の3度」を「長3度」と「短3度」と称している。
ここで、「長3度」＝5/4、「短3度」＝6/5、であることが明らかだ。
もう一度、M·ウェーバーの叙述を引用しておこう。
「和音和声法は、まず『主音』と呼ばれる或る音から出発し、次に、主音自身の上と、その上方5度音および下方5度音の上に、それぞれ二種類の3度で算術的に分割された5度を、すなわち標準的な『三和音』を構成する」。
これは、「下方5度音」を前提にする場合の「短調」の場合に関する叙述を含んでいる。
「長調」の場合は、要するに、4、4×(5/4)＝5、4×(5/4)×(6/5)＝6の三音が「和音」となる。
この三音から成る「和音」は〈ピタゴラス音律〉の場合と同じではない。
既述のように、〈ピタゴラス音律〉では、C-E-G（ド-ミ-ソ）三音は、1、81/64、3/2。
これに対して〈純正律〉では、1、5/4、3/2。
どちらが「美しい」かは主観的な感性の問題だが、どちらが「調和的」・「協和的」かと問えば、答えは通常は〈純正律〉になるだろう。音波（周波数）比がより簡潔だからだ（なお、同じことはますます、〈十二平均律〉と比べても、言える）。
-------
このような長所、優れた点を〈純正律〉はもつが、欠点も大きい。
この欠点を、かつての秋月のコメントはこう書いた。
「純正律では、全音には大全音と小全音の二種ができ、それらを二分割してその片方を（純正律での）『半音』で埋めるとしても、大全音での残余、小全音での残余、元来の（純正律での）「半音」という少なくとも三種の半音が生まれる。このような音階は（かりに『幹音』に限るとしても）、＜十二平均律＞はもちろん、ピタゴラス音律よりも簡潔ではなく、複雑きわまりない。」
上の趣旨をM·ウェーバーがかつて淡々と述べていたと見られるのが、引用（・再掲）したつぎの文章だ。
「オクターヴ内の二つの全音階的半音音程の中間には、一方に二個の、他方には三個の全音が存在し、いずれの場合にも、二番目の全音が小全音で、それ以外はすべて大全音である」。
「オクターヴの内部に次々に新しい音を獲得してゆくと、全音階的音程の中間に二個ずつの『半音階的』音程が生ずる」。
「全音には二種類あるので、二つの半音階音のあいだには、大きさの異なる二種類の剰余音程が生ずる。／
しかも、全音階的半音と小半音の差は、さらに別の音程になるのであるから、ディエシスは、いずれも2、3、5という数から構成されているとはいえ、三通りのきわめて複雑な数値になる」。
----
現在のわれわれのほとんどは、「半音」、つまり〈十二平均律〉では全12音の隣り合う音のあいだの間隔は一種類の「半音」だ、ということを当たり前のことと考えている。「全音」は半音二つで成るのであって、これも一種類しかない、ということも同様だろう。
したがって、「全音」には二種がある、「半音」には①「大全音での残余」、②「小全音での残余」、③「元来の〔純正律での〕半音」という三種類がある、という音階・音律を想像すらできないかもしれない。
しかし、これが、「5」という数字を導入し、かつC-E-G（・F-A-C・G-B-D）という三音関係の「調和」性・「協和」性を重視した（ある意味では「執着した」）結果でもある。
--------
二種の「全音」、三種の「半音」の発生の〈仕組み〉、計算過程を説明することは不可能ではないが、立ち入らないことにしよう。
また、〈純正律〉はまったく使いものにならない、というのでもない。
移調や転調をする必要がない場合、ということはおそらく間違いなく、ピアノやバイオリンによる一曲だけの独奏の場合、発声による独唱の場合は、むろん事前の調律・調整が必要だが、使うことができる。また、訓練次第で、そのような独奏や独唱の集合としての合奏や合唱もまた可能だと思われる。
現に、〈純正律〉（や〈十二平均律〉以外）による楽曲はCDになって販売されているし、YouTube でも流れている。
——
以上。
——
一 前々回のNo.2714に再掲したM·ウェーバーの叙述を、秋月瑛二はたぶんほぼ正確に理解することができた。M·ウェーバー＜音楽社会学＞に接する前に、ピタゴラス音律、純正律、十二等分平均律について、すでにかなり知っていたからだ。
だが、日本の音楽大学出身者も含めて、いかほど容易にM·ウェーバーの、1911年〜12年に執筆されたとされる文章（のまさに冒頭）〔前々回に再掲〕の意味を理解することができるか、かなり怪しいと思っている。
上のコメントをさらに詳しくしておこう。
--------
二 １ n／(n＋1)では（前者が分母だと理解しないかぎりは）「過分数」にならないから（この点、M·ウェーバーは「逆数」で語っているとの説明もある）、(n＋1)／nのことだと理解しておこう。
M·ウェーバーはこう叙述する。「いま或る開始音から出発して、まず最初はオクターヴで、次に5度、4度、あるいは過分数によって規定された他の何らかの関係で「圏」状に上行または下行すると、この手続をたとえどこまで続けても、これらの分数の累乗が同一の音に出くわすことはけっしてありえない」。
「最初はオクターブで」とは、「ある開始音」の音波数（周波数）を2倍、4倍、〜、1／2倍、1／4倍、〜、としてみることだろう。これらの場合、音の（絶対的）「高さ」は変わっても、「オクターブ」の位置が変わるだけで、ヒトの通常の聴感覚では、きわめてよく「調和」・「協和」する＜同じ＞音に聴こえる。これは、ホモ・サピエンス（人類）の生来の＜聴覚＞からして、自然のことだろう。
だが、「同じ」音ではなく、「異なる」音を一オクターブの中に設定しようとする場合に、種々の問題が出てくる。
M·ウェーバーが「次に5度、4度、あるいは過分数によって規定された他の何らかの関係で」という場合の「5度」とは＜3／2＞を、「4度」とは＜4／3＞を、意味していると解される。
脱線するが、興味深いことに今日の〈十二平均律〉の場合でも、日本の音楽大学出身者ならよく知っているだろうが、「完全5度」、「完全4度」という概念・言葉が用いられている（「完全2度」や「完全3度」等々はない）。しかし、その数値は「完全1度」（＝従前と同じ音）の音波数の＜3／2＞や＜4／3＞ではない。もっとも、このような用語法が残っているということ自体、〈ピタゴラス音律〉が果たした歴史的意味の大きさを示しているだろう、と考えられる。
M·ウェーバーがつづけて「過分数によって規定された他の何らかの関係で」というのは、上の(n＋1)／nのn が2、3の場合が＜3／2＞、＜4／3＞だから、nを増やしていって、＜5／4＞、＜6／5＞等々を意味しているのだろう。但し、主要な場合として＜3／2＞、＜4／3＞を、とくに＜3／2＞を、想定していると見られる。
さて、M·ウェーバーによると、これらの新しい数値を選んで、①＜「圏」状に上行または下行すると＞、②「この手続をたとえどこまで続けても、これらの分数の累乗が同一の音に出くわすことはけっしてありえない」。
この①の明記が、日本でよく見られる〈ピタゴラス音律〉に関する説明には欠けている観点だ。
だからこそ、「何らかの関係で『圏』状に上行または下行すると…」との部分は「今日の日本でのピタゴラス音律の説明について秋月瑛二が不満を感じてきたところを衝いていると思える」、とNo.2641で記した。
その趣旨を詳しく記述しなかったのだが、以下のようなことだ。
わが国で通常に見られる〈ピタゴラス音律〉に関する説明は、ほぼもっぱら「上行」の場合のみで説明をし、「下行」の場合をほとんど記述していない。
上の②にあるように、「この手続をたとえどこまで続けても、これらの分数の累乗が同一の音に出くわすことはけっしてありえない」のだが、「『圏』状」での「上行」の場合は「ピタゴラス・コンマ」は必ずプラスの数値になる。「圏」という語を使うと、「圏」または「円環」上の位置が進みすぎて、元の音よりも（例えばちょうど1オクターブ上の音よりも）少し「高く」なる。
したがって、日本でのほとんどの説明では、「ピタゴラス・コンマ」はつねにプラスの数値になる。
しかし、「『圏』状」での「下行」の場合は「ピタゴラス・コンマ」は必ずマイナスの数値になる。すなわち、「圏」または「円環」上の位置が元の音よりも（例えばちょうど1オクターブ上の音よりも）少し「低く」なる。「圏」または「円環」上の位置が進み「すぎる」のではなく、進み方が少し「足らない」のだ。
なお、今回は立ち入らないが（すでに本欄で言及してはいるのだが）、「上行」と「下行」の区別が明確でないと、「ある開始音」をＣ＝1とした場合のＦの音の数値を明確に語ることができない。「下行」を用いてこそＦは4／3になるのであり、「上行」では4／3という簡素な数値には絶対にならない。
**「下行」の場合の計算過程と「マイナスのピタゴラス・コンマ」について、→No.2656／2023-08-04。
——
２ M·ウェーバーはこう叙述した。「例えば、（2／3）12乗にあたる第十二番目の純正5度は、（1／2）7乗にあたる第七番目の8度よりもピュタゴラス・コンマの差だけ大きいのである」。
上の「（2／3）12乗」は＜3／2＞の12乗のこと、「（1／2）7乗」は＜2／1＝2＞の7乗のこと、だと考えられる。また「第七番目の8度」とは＜7オクターブ上の同じ音＞だと解される。たんに「8度」上の音とは1オクターブだけ上の「同じ」音を意味するからだ（こういう「8度」の用語法は、〈十二平均律〉が支配する今日でも見られる）。
こう理解して、実際に上の計算を行ってみよう。本当に「…よりもピュタゴラス・コンマの差だけ大きい」のか。
ここで先に、秋月がすでに行っている、（プラスの）ピタゴラス・コンマの計算結果を示しておく。
昨2023年年の8月に、この欄に示したものだ。そのまま引用はせず（×(3／2)ではなく×3÷2という表記の仕方をしていることにもよる）、表記の仕方をやや変更する（計算結果はむろん同じ）。参照、→No.2655／2023-08-03。
M·ウェーバーの叙述の仕方と異なり、わが国で通常のように、(3/2)を乗じつつ、＜1と2の間の数値になるように＞、必要な場合にはx(1/2)の計算を追加する。但し、⑫は2を少しだけ超えるが、ほとんど2だとして、そのままにする。
********
⓪ 1。
① 1x(3/2)＝3/2。
② 3/2x(3/2)x(1/2)＝9/8。
③ 9/8x(3/2)＝27/16。
④ 27/16x(3/2)x(1/2)＝81/64。
⑤ 81/64x(3/2) ＝243/128。
⑥ 243/128x(3/2)x(1/2)＝729/512。
⑦ 729/512x(3/2)x(1/2)＝2187/2048。
⑧ 2187/2048x(3/2)＝6561/4096。
⑨ 6581/4096x(3/2)x(1/2)＝19683/16384。
⑩ 19683/16384x(3/2)＝59049/32768。
⑪ 59049/32768x(3/2)x(1/2)＝177147/131072。
⑫ 177147/131073x(3/2)＝531441/262144。
********
この⑫が、「（3／2）の12乗にあたる『第十二番目の純正5度』」の数値に該当する。
ところで、迂回してしまうが、上のような計算の過程で、ほぼ1オクターブ（1とほぼ2）のあいだに、異なる高さの12個の音が発見されていることになる。⓪〜⑪の12個、または①〜⑫の12個だ。このことこそが、1オクターブは12の異なる音から成る、という、今日でも変わっていないことの、出発点だった。
その異なる12個の音は任意の符号・言語で表現できる。⓪＝1を今日によく用いられるC〜G,A,BのCとし、さらに（説明としては飛躍するが）C〜G,A,Bの7「幹音」以外の5音を♯を付けて表現すると、つぎのようになる。以下のアルファベット符号（+♯）が示す音の高さ（音波数）は、今日で支配的な〈十二平均律〉による場合と（C＝1を除いて）一致していない。また、以下は〈上行〉系または〈♯〉系の12音階だ。
⓪＝C、⑦＝C♯、②＝D、⑨＝D♯、④＝E、⑪＝F〔注:♯系だと4/3ではない〕、⑥＝F♯、①＝G、⑧＝G♯、③＝A、⑩＝A♯、⑤＝B、⑫＝C'。
*********
迂回してしまったが、あらためて、⓪と⑫の比、同じことだが上に記したCとC'の比、を求めてみよう。
分数形の数字はすでに出ている。つまり、531441／262144。
これを電卓で計算すると、小数点以下10桁までで、こうなる。2.0272865295。
2にほぼ近く、2と「見なして」よいかもしれない。しかし、正確には少し大きい。
ちょうど2との比は、小数点以下10桁までで（以下切り捨て）、2.0272865295／2＝1.0136432647.
これの端数、つまり 0.0136432647 が、プラスのピタゴラス・コンマだ。
M·ウェーバーにおける①「（3／2）の12乗にあたる『第十二番目の純正5度』」と②「第七番目の8度」という表現の仕方に忠実に従うと、つぎのようになる。
小数点以下9桁までで区切る。
①「（3／2）12乗」＝3の12乗／2の12乗＝531441／4096＝129.746337891.
②「第七番目の8度」＝「2／1（＝2）の7乗」＝128.
これら①と②は、相当に近似しているが同一ではない。
差異または比は、つぎのとおり。小数点以下10桁まで（以下切り捨て）。
129.746337891／128＝1.0136432647.
端数は、0.0136432647. これは、上での計算の結果と合致している。
——
３ 以上のとおりで、「5度」＝(3／2)の乗数音は2（1オクターブ）の乗数音とは、「手続をたとえどこまで続けても、…同一の音に出くわすことはけっしてありえない」。
そして、「〔3/2の〕12乗にあたる第十二番目の純正5度は、〔2の〕7乗にあたる第七番目の8度よりもピュタゴラス・コンマの差だけ大きいのである」（M·ウェーバー）。
だがしかし、(3／2)の12乗数が2の7乗数に相当に近づくことも確かだ。
言い換えると、1と2の範囲内に、またはほぼ2になるように、(3／2)の乗数に1／2を掛ける、ということを続けると、12乗めで、2に相当に近づく。
このことが、繰り返しになるが、1オクターブは異なる12音で構成される、ということの、「12」という数字の魔力・魅力に助けられての、出発点になった。10音でも、15音でもない。
——
三 以上では、引用した（再掲した）M·ウェーバーの叙述の三分の一ほどを扱ったにすぎない。
彼はつづけてこう叙述する。
１ 「西欧の和音和声的音楽が音素材を合理化する方法は、オクターヴを5度と4度に、次に4度はいちおうどけておいて、5度を長3度と短3度に（(4／5)×(5／6)＝2／3）、長3度を大全音と小全音に（(8／9)×(9／10)＝4／5）、短3度を大全音と大半音に（(8／9)×(15／16)＝5／6）、小全音を大半音と小全音に（(15／16)×(24／25)＝9／10）、算術的ないし和声的に分割することである。
以上の音程は、いずれも、2、3、5という数を基にした分数によって構成されている。」
さて、「4度はいちおうどけておいて、5度を長3度と短3度に（(4／5)×(5／6)＝2／3）、長3度を大全音と小全音に（(8／9)×(9／10)＝4／5）、短3度を大全音と大半音に（(8／9)×(15／16)＝5／6）、小全音を大半音と小全音に（(15／16)×(24／25)＝9／10）、算術的ないし和声的に分割する」とは、いったいどういうことか。
No.2641のコメントでは、こう触れた。「純正律は『2と3』の世界であるピタゴラス音律に対して『5』という数字を新たに持ち込むものだ。そして、今日にいう＜C-E-G＞等の和音については、ピタゴラス音律よりも（＜十二平均律＞よりも）、協和性・調和性の高い音階または『和音』を形成することができる」。
つまり、上のM·ウェーバーの叙述は、（1を除けば）2と3という数字のみを用いていた〈ピタゴラス音律〉に対して「『5』という数字を新たに持ち込む」ことでさらなる「合理化」を図る方法が発展した、と言っている。
この「西欧の和音和声的音楽が音素材を合理化する方法」とは、M·ウェーバーはこの用語を用いていないが、〈純正律〉という音律のことだ。
M·ウェーバーは詳しく、こう説明している。
「5度を長3度と短3度に（(4／5)×(5／6)＝2／3）、長3度を大全音と小全音に（(8／9)×(9／10)＝4／5）、短3度を大全音と大半音に（(8／9)×(15／16)＝5／6）、小全音を大半音と小全音に（(15／16)×(24／25)＝9／10）、算術的ないし和声的に分割する」。
さらに、つぎのようにも補足している。
「まず『主音』と呼ばれる或る音から出発し、次に、主音自身の上と、その上方5度音および下方5度音の上に、それぞれ二種類の3度で算術的に分割された5度を、すなわち標準的な『三和音』を構成する。
そして次に、三和音を構成する諸音（ないしそれらの8度音）を一オクターヴ内に配列すれば、当該の主音を出発点とする『自然的』全音階の全素材を、残らず手に入れることになる。」
--------
２ 以上の叙述の意味を詳細に説明することは必ずしも容易ではない。
ここでは、つぎのようにコメントしておこう。
「4度はいちおうどけておいて」とは、とりあえず（4／3）には拘泥しないで、という意味だ。
そして、この〈純正律〉では、あくまで今日によく用いれれている符号を利用するだけだが、C-E-G（ド-ミ-ソ）の和音を重視する。
なぜそうしたかの理由は、秋月の推測になるが、〈ピタゴラス音律〉でのC-E-G（ド-ミ-ソ）の和音に満足できなかった人々も多かった、ということだろう。
〈ピタゴラス音律〉でC-E-G（ド-ミ-ソ）の和音の三音は、上に示した表から導けば、つぎのような音波数（高さ）の並びになる。①C(ド)＝1、②E(ミ)＝81/64、③G(ソ)＝3/2。
とくに②E(ミ)について、これ以上に簡潔に表現される数値にすることができない。
これに対して、〈純正律〉は、これら三音を、つぎのように構成する。
①C(ド)＝1、②E(ミ)＝80/64＝10/8＝5/4、③G(ソ)＝3/2。
①と③は変わらないが、②を、81/64ではなく、80/64＝10/8＝5/4へと、1/64だけ小さくする。
そうすると、①C(ド)、②E(ミ)、③G(ソ)の三音は、①1、②5/4、③3/2、という並びになる。
各音の比に着目すると、②5/4＝①1×(5/4)、③3/2＝②5/4×(6/5)、だ。三音はそれぞれ、1、1×(5/4)、(5/4)×(6/5)。
つまり、①C(ド)、②E(ミ)、③G(ソ)の三音は、４-５-６という前者比関係に立つことになる。
これが、秋月のかつてのコメントで、「純正律は『2と3』の世界であるピタゴラス音律に対して「5」という数字を新たに持ち込むものだ」と記したことの意味だ。
この４-５-６という三音関係は、〈純正律〉では、α①C(ド)、②E(ミ)、③G(ソ)のみならず、β①Ｆ(ファ)、②A(ラ)、③C(上のド)、θ①G(ソ)、②B(シ)、③D(上のレ)へも適用される。
余談ながら、秋月が学んだかつての音楽教科書には、ドミソ・ドファラ・シレソが＜長調の三大和音＞だとされていた。
だが、上に記したように、この「三大和音」は実質的には同じ三音関係だ。すなわち、４-５-６の三音関係の順番を少し変更しただけのことだ（ファラド→ドファラ、ソシレ→シレソ）。
M·ウェーバーは、「5度音」を「二種類の3度で算術的に分割された5度」という叙述の仕方をし、「二種類の3度」を「長3度」と「短3度」と称している。
ここで、「長3度」＝5/4、「短3度」＝6/5、であることが明らかだ。
もう一度、M·ウェーバーの叙述を引用しておこう。
「和音和声法は、まず『主音』と呼ばれる或る音から出発し、次に、主音自身の上と、その上方5度音および下方5度音の上に、それぞれ二種類の3度で算術的に分割された5度を、すなわち標準的な『三和音』を構成する」。
これは、「下方5度音」を前提にする場合の「短調」の場合に関する叙述を含んでいる。
「長調」の場合は、要するに、4、4×(5/4)＝5、4×(5/4)×(6/5)＝6の三音が「和音」となる。
この三音から成る「和音」は〈ピタゴラス音律〉の場合と同じではない。
既述のように、〈ピタゴラス音律〉では、C-E-G（ド-ミ-ソ）三音は、1、81/64、3/2。
これに対して〈純正律〉では、1、5/4、3/2。
どちらが「美しい」かは主観的な感性の問題だが、どちらが「調和的」・「協和的」かと問えば、答えは通常は〈純正律〉になるだろう。音波（周波数）比がより簡潔だからだ（なお、同じことはますます、〈十二平均律〉と比べても、言える）。
-------
このような長所、優れた点を〈純正律〉はもつが、欠点も大きい。
この欠点を、かつての秋月のコメントはこう書いた。
「純正律では、全音には大全音と小全音の二種ができ、それらを二分割してその片方を（純正律での）『半音』で埋めるとしても、大全音での残余、小全音での残余、元来の（純正律での）「半音」という少なくとも三種の半音が生まれる。このような音階は（かりに『幹音』に限るとしても）、＜十二平均律＞はもちろん、ピタゴラス音律よりも簡潔ではなく、複雑きわまりない。」
上の趣旨をM·ウェーバーがかつて淡々と述べていたと見られるのが、引用（・再掲）したつぎの文章だ。
「オクターヴ内の二つの全音階的半音音程の中間には、一方に二個の、他方には三個の全音が存在し、いずれの場合にも、二番目の全音が小全音で、それ以外はすべて大全音である」。
「オクターヴの内部に次々に新しい音を獲得してゆくと、全音階的音程の中間に二個ずつの『半音階的』音程が生ずる」。
「全音には二種類あるので、二つの半音階音のあいだには、大きさの異なる二種類の剰余音程が生ずる。／
しかも、全音階的半音と小半音の差は、さらに別の音程になるのであるから、ディエシスは、いずれも2、3、5という数から構成されているとはいえ、三通りのきわめて複雑な数値になる」。
----
現在のわれわれのほとんどは、「半音」、つまり〈十二平均律〉では全12音の隣り合う音のあいだの間隔は一種類の「半音」だ、ということを当たり前のことと考えている。「全音」は半音二つで成るのであって、これも一種類しかない、ということも同様だろう。
したがって、「全音」には二種がある、「半音」には①「大全音での残余」、②「小全音での残余」、③「元来の〔純正律での〕半音」という三種類がある、という音階・音律を想像すらできないかもしれない。
しかし、これが、「5」という数字を導入し、かつC-E-G（・F-A-C・G-B-D）という三音関係の「調和」性・「協和」性を重視した（ある意味では「執着した」）結果でもある。
--------
二種の「全音」、三種の「半音」の発生の〈仕組み〉、計算過程を説明することは不可能ではないが、立ち入らないことにしよう。
また、〈純正律〉はまったく使いものにならない、というのでもない。
移調や転調をする必要がない場合、ということはおそらく間違いなく、ピアノやバイオリンによる一曲だけの独奏の場合、発声による独唱の場合は、むろん事前の調律・調整が必要だが、使うことができる。また、訓練次第で、そのような独奏や独唱の集合としての合奏や合唱もまた可能だと思われる。
現に、〈純正律〉（や〈十二平均律〉以外）による楽曲はCDになって販売されているし、YouTube でも流れている。
——
以上。
