一 「２と３を要素とする数字の世界」。
一 いわば＜秋月音階＞づくりは、ピタゴラス音律または「ピタゴラス音階」の設定方法とは無関係に行なわれた。なぜなら、ある音の周波数比に3または（3／2）を掛けて（または割って）…という作業を全く行なっていないからだ。
したがって、最後に6とおりの「12音」（1オクターブ上を含めて「13音」）を設定し終えたとき（P01,Q01,R01,P02,Q02,R02）、その一つは明らかに、「ピタゴラス音階」の12音（13音）としてあり得る12音（13音）の配列と各数値が全く同じだ、ということを知ったときは、少々驚いた。
シロウトがほとんど数値遊びのような感覚で始めた1オクターブ内「12音（13音）」音の発見作業によって、あの有名な「ピタゴラス音階」のあり得る「12音（13音）」音階と同じ配列が生まれたわけだ（各数値はまだこの欄に記載していない）。
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二 ピタゴラス音律での「音階」設定作業の際に用いる数字（数値）と似たようなそれを、結果としては＜秋月音階＞も生み出した、ということの理由は、以下のことにあるだろう。
第一に、1（、2）に次ぐ2音を(3／2)と(4／3)にした。4＝2の2乗であって、1以外に用いる数字（数値）は「2と3の世界」の中にある。
第二に、①3音（4音）から5音（6音）に増やす場合、②5音（6音）から7音（8音）に増やす場合、に用いた数字（数値）は、いずれの場合も(9／8）だった（この数字を恣意的に選んだのではないことは既述）。余計ながら、1オクターブ7音（8音）とは、いわゆる〈ドレミファソラシ(ド)〉またはそれに近い配列に該当する。
そして、（9／8）＝(3の2乗／2の3乗)であって、この(9／8)という数字も、「2と3の世界」の中にある。
第三に、①7音（8音）から12音（13音）に増やす場合に、用いたのは、（256／243）だった（この数字も、恣意的に選んだのはないことは、既述）。
そして、（256／243）＝(2の8乗／3の5乗)であって、この数字も、「2と3の世界」の中にある。
つまりは、＜秋月音階＞の設定の過程で出てくる数字（数値）は、上の二つに限らず、全て、「2と3という数字の世界」の中にある、と思われる。
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三 ピタゴラス音律での「ピタゴラス音階」の設定作業は、前回に記したように、一定の数値に3または(3／2)を掛けて（1とほぼ2のあいだの範囲内に収まるように）2または4（2の2乗）で割る（Ａ型）、または、一定の数値を3または(3／2)で割って（1とほぼ2のあいだの範囲内に収まるように）2または4（2の2乗）で掛ける（Ｂ型）、というものだった。
従って、計算の途中の過程で出てくる数字であっても、全て、「2と3の世界」の中にある。そして、計算結果の分数値は、Ａ型の場合は全て（3の乗数／2の乗数）、Ｂ型の場合は全て（2の乗数／3の乗数）、だ。
このように「2と3という数字の世界」にある数字（数値）〔＝「５」や「７」等を要素にしない数字（数値）〕だけを扱っているために、＜秋月音階＞と「ピタゴラス音階」での具体的数値も、かなり似たものになった、と考えられる。
二 「ピタゴラス音階」と＜秋月音階＞の対比。
上のことを意識しつつ、二つの方式？の結果を対比させてみよう。12音（13音）については、次回以降に行なう。その際、「分かりやすさ」を考慮して、元々は避けてきた「ドレミ…」を用い、「ド」＝1と仮定する。十二平均律における各音の各数値とは近くても同一ではない。
一 5音（6音）。
ピタゴラス音階の5音（6音）—A型。
Ａ01。1、(9／8)、(4／3)、(3／2)、(27／16)、2
これは、ド、レ、ファ、ソ、ラ、ド、に該当する。
ピタゴラス音階の5音（6音）—B型。
Ｂ01。1、(32／27)、(4／3)、128／81)、（16／9）、2
これは、ド、ミ♭、ファ、ラ♭、シ♭、ド、に該当する。
＜秋月音階＞の5音（6音）。
M01。1、(9／8)、(4／3)、(3／2)、(27／16)、2。
これは、ド、レ、ファ、ソ、ラ、ド、に該当する。
N01。1、(32／27)、(4／3)、(3／2)、(16／9)、2
これは、ド、ミ♭、ファ、ソ、シ♭、ド、に該当する。
二 若干のコメント—その一。
第一。上記のとおり、Ａ01とM01は同一だ。ド-レ-ファ-ソ-ラ-ド。
第二。M01とN01について、「ドレミ…7音・1オクターブ12音を『設定』する③」（2025年10月28日投稿）で、つぎのように書いた。
「上の二つによる（五音による）音階は、日本の『伝統的音階』のうち、M01は『陽音階』（または『律音階』）、N01は『陰音階』（または『民謡音階』）に、『かなり似ている』ように秋月には感じられる。」
この時点で、日本の「伝統的音階」と言われるもののうち、「陽音階」・「陰音階」、「民謡音階」、「田舎節」・「都節」等の詳細を十分に知って書いていたのではない。
ネット上の知識によると、小泉文夫は日本の「伝統音楽」における音階を、「民謡音階」・「律音階」・「都節音階」・「琉球音階」の4つに分けている。楽譜も付されている。
これによると、M01（ドレファソラド）はずばり「律音階」だ。
また、N01（ドミ♭ファソシ♭ド）はずばり「民謡音階」だ。
「…ように秋月には感じられる」と遠慮がちに記さなくてもよかった。
一方で、小泉文夫は、「陽音階」・「隂音階」には言及していない。
私が中学生時代の音楽教科書には、上の両者が楽譜付きでこう記されていた。
陽音階—レ、ミ、ソ、ラ、ド、レ。
隂音階—ミ、ファ、ラ、シ、レ、ミ（下向は、レがドに変わる）。
ところで、上のA01＝M01の「ド-レ-ファ-ソ-ラ-ド」という音階は、「レ-ファ-ソ-ラ-ド-レ」という音階と同一視することができる。そして、この後者と上の陽音階は、第2音が「レ」と「ミ」で異なるにすぎない。よく似ているとは言えるだろう。なお、この陽音階は、明治初年に作曲された＜君が代＞の音階だと考えられる。また、「ド-レ-ミ-ソ-ラ-ド」は、坂本九「上を向いて歩こう」の基本的な音階（五音音階）としても使われた。
なお、日本の伝統的（民俗的）音階は小泉文夫とは異なって説明される、ということは充分にあり得るので、「陽」音階・「隂」音階、「都節」や「田舎節」等も含めて、さらに「調査」し、検討してみたい。
もともとは、「日本」音階での「5音」が、ピタゴラス音律や十二平均律等々が用意する12音の中のいずれかの「５音」にあたるはずだと、西欧音楽での「音階」を中心にして考察する必要はない、ということにも留意しておいてよいだろう。
第三。N01（民謡音階）とピタゴラス音階のＢ型によるＢ01の5音（6音）は、1つの音が異なるだけで、よく似ている。
三 7音（8音）。
ピタゴラス音階の7音（8音）—Ａ型。
Ａ02。1、(9／8)、(81／64)、(4／3*)、(3／2)、(27／16)、(243／128)、2。
これは、ド、レ、ミ、ファ*、ソ、ラ、シ、ド、に該当する。但し、「ファ」だけはＢ型を利用している。
ピタゴラス音階の7音（8音）—Ｂ型 。
Ｂ02。1、(256／243)、(32／27)、(4／3)、(1024／729)、(128／81)、(16／9)、2。
これは、ド、レ♭、ミ♭、ファ、ソ♭、ラ♭、シ♭、ド、に該当する。
＜秋月音階＞の7音（8音）。3とおり得られた。以下で「*」が付いている数値は、ピタゴラス音階では「Ｂ型」によって得られるもの。
Ｐ。1、(9／8)、(81／64)、(4／3)*、(3／2)、(27／16)、(243／126)、2.
これは、ド、レ、ミ、ファ*、ソ、ラ、シ、ド、に該当する。
Ｑ。1、(9／8)、(32／27)*、(4／3)*、(3／2)、(27／16)、(16／9)*、2.
これは、ド、レ、ミ♭* 、ファ*、ソ、ラ、シ♭* 、ド、に該当する。
Ｒ。1、(256／243)*、(32／27)*、(4／3)*、(3／2)、(128／81)*、(16／9)*、2.
これは、ド、レ♭* 、ミ♭* 、ファ*、ソ、ラ♭* 、シ♭* 、ド、に該当する。
四 若干のコメント—その二。
第一。上記のとおり、A02とＰは同一だ。ド-レ-ミ-ファ-ソ-ラ-シ-ド。
ピタゴラス音階での7音（8音）と同じ配列が、＜秋月音階＞でも、（12音（13音）の設定過程で）得られていることになる。
第二。上のＰ、Q、Ｒに出てくる全ての音を、小さい順に並べると、つぎのようになる。
1,(256／243)*,(9／8),(32／27)*,(81／64),(4／3)*,(3／2),(128／81)*,(27／16),(16／9)*,(243／126),2.
これは、ド、レ♭*、レ、ミ♭*、ミ、ファ*、ソ、ラ♭*、ラ、シ♭*、シ、ド、に該当する。
上には11音があるので、7音（8音）設定の段階ですでに、12音（13音）のうち11音（12音）が得られていることになる。
欠落しているのは、ファとソの間、ファ♯またはソ♭だけだ。
第三。上の最後に触れた、「ファ♯」と「ソ♭」のいずれを採用するするかで、いわゆる「ピタゴラス・コンマ」の解消の仕方が異なる、ということになるのかもしれない。「ファ♯」=(729／512)、「ソ♭」=(1024／729)。
Ｂ02では、すでに、ソ♭*（1024／729）が登場している。これを利用すると、1オクターブ12音（13音）をすでに設定できることになる。
第四。しかし、「ピタゴラス音階」での12音（13音）設定（ピタゴラス・コンマの解消を含む）は、そのように単純なものではない。
なぜなら、ド♯＝レ♭、レ♯＝ミ♭、ファ♯＝ソ♭、ソ♯＝ラ♭、ラ♯＝シ♭、ではないからだ。Ａ型とＢ型の計算過程の全体（前回に記載）を参照。
Ａ型で得られる音（上の等号の左・前者）をどこまで採用し、Ｂ型で得られる音（右・後者）をどこまで採用するか、という問題が残っている。
ピタゴラス音律または「ピタゴラス音階」を説明する、「音大卒」の方々のものを含む文献や文章は、上の問題を厳密には叙述していないように思えるのだが。
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一 いわば＜秋月音階＞づくりは、ピタゴラス音律または「ピタゴラス音階」の設定方法とは無関係に行なわれた。なぜなら、ある音の周波数比に3または（3／2）を掛けて（または割って）…という作業を全く行なっていないからだ。
したがって、最後に6とおりの「12音」（1オクターブ上を含めて「13音」）を設定し終えたとき（P01,Q01,R01,P02,Q02,R02）、その一つは明らかに、「ピタゴラス音階」の12音（13音）としてあり得る12音（13音）の配列と各数値が全く同じだ、ということを知ったときは、少々驚いた。
シロウトがほとんど数値遊びのような感覚で始めた1オクターブ内「12音（13音）」音の発見作業によって、あの有名な「ピタゴラス音階」のあり得る「12音（13音）」音階と同じ配列が生まれたわけだ（各数値はまだこの欄に記載していない）。
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二 ピタゴラス音律での「音階」設定作業の際に用いる数字（数値）と似たようなそれを、結果としては＜秋月音階＞も生み出した、ということの理由は、以下のことにあるだろう。
第一に、1（、2）に次ぐ2音を(3／2)と(4／3)にした。4＝2の2乗であって、1以外に用いる数字（数値）は「2と3の世界」の中にある。
第二に、①3音（4音）から5音（6音）に増やす場合、②5音（6音）から7音（8音）に増やす場合、に用いた数字（数値）は、いずれの場合も(9／8）だった（この数字を恣意的に選んだのではないことは既述）。余計ながら、1オクターブ7音（8音）とは、いわゆる〈ドレミファソラシ(ド)〉またはそれに近い配列に該当する。
そして、（9／8）＝(3の2乗／2の3乗)であって、この(9／8)という数字も、「2と3の世界」の中にある。
第三に、①7音（8音）から12音（13音）に増やす場合に、用いたのは、（256／243）だった（この数字も、恣意的に選んだのはないことは、既述）。
そして、（256／243）＝(2の8乗／3の5乗)であって、この数字も、「2と3の世界」の中にある。
つまりは、＜秋月音階＞の設定の過程で出てくる数字（数値）は、上の二つに限らず、全て、「2と3という数字の世界」の中にある、と思われる。
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三 ピタゴラス音律での「ピタゴラス音階」の設定作業は、前回に記したように、一定の数値に3または(3／2)を掛けて（1とほぼ2のあいだの範囲内に収まるように）2または4（2の2乗）で割る（Ａ型）、または、一定の数値を3または(3／2)で割って（1とほぼ2のあいだの範囲内に収まるように）2または4（2の2乗）で掛ける（Ｂ型）、というものだった。
従って、計算の途中の過程で出てくる数字であっても、全て、「2と3の世界」の中にある。そして、計算結果の分数値は、Ａ型の場合は全て（3の乗数／2の乗数）、Ｂ型の場合は全て（2の乗数／3の乗数）、だ。
このように「2と3という数字の世界」にある数字（数値）〔＝「５」や「７」等を要素にしない数字（数値）〕だけを扱っているために、＜秋月音階＞と「ピタゴラス音階」での具体的数値も、かなり似たものになった、と考えられる。
二 「ピタゴラス音階」と＜秋月音階＞の対比。
上のことを意識しつつ、二つの方式？の結果を対比させてみよう。12音（13音）については、次回以降に行なう。その際、「分かりやすさ」を考慮して、元々は避けてきた「ドレミ…」を用い、「ド」＝1と仮定する。十二平均律における各音の各数値とは近くても同一ではない。
一 5音（6音）。
ピタゴラス音階の5音（6音）—A型。
Ａ01。1、(9／8)、(4／3)、(3／2)、(27／16)、2
これは、ド、レ、ファ、ソ、ラ、ド、に該当する。
ピタゴラス音階の5音（6音）—B型。
Ｂ01。1、(32／27)、(4／3)、128／81)、（16／9）、2
これは、ド、ミ♭、ファ、ラ♭、シ♭、ド、に該当する。
＜秋月音階＞の5音（6音）。
M01。1、(9／8)、(4／3)、(3／2)、(27／16)、2。
これは、ド、レ、ファ、ソ、ラ、ド、に該当する。
N01。1、(32／27)、(4／3)、(3／2)、(16／9)、2
これは、ド、ミ♭、ファ、ソ、シ♭、ド、に該当する。
二 若干のコメント—その一。
第一。上記のとおり、Ａ01とM01は同一だ。ド-レ-ファ-ソ-ラ-ド。
第二。M01とN01について、「ドレミ…7音・1オクターブ12音を『設定』する③」（2025年10月28日投稿）で、つぎのように書いた。
「上の二つによる（五音による）音階は、日本の『伝統的音階』のうち、M01は『陽音階』（または『律音階』）、N01は『陰音階』（または『民謡音階』）に、『かなり似ている』ように秋月には感じられる。」
この時点で、日本の「伝統的音階」と言われるもののうち、「陽音階」・「陰音階」、「民謡音階」、「田舎節」・「都節」等の詳細を十分に知って書いていたのではない。
ネット上の知識によると、小泉文夫は日本の「伝統音楽」における音階を、「民謡音階」・「律音階」・「都節音階」・「琉球音階」の4つに分けている。楽譜も付されている。
これによると、M01（ドレファソラド）はずばり「律音階」だ。
また、N01（ドミ♭ファソシ♭ド）はずばり「民謡音階」だ。
「…ように秋月には感じられる」と遠慮がちに記さなくてもよかった。
一方で、小泉文夫は、「陽音階」・「隂音階」には言及していない。
私が中学生時代の音楽教科書には、上の両者が楽譜付きでこう記されていた。
陽音階—レ、ミ、ソ、ラ、ド、レ。
隂音階—ミ、ファ、ラ、シ、レ、ミ（下向は、レがドに変わる）。
ところで、上のA01＝M01の「ド-レ-ファ-ソ-ラ-ド」という音階は、「レ-ファ-ソ-ラ-ド-レ」という音階と同一視することができる。そして、この後者と上の陽音階は、第2音が「レ」と「ミ」で異なるにすぎない。よく似ているとは言えるだろう。なお、この陽音階は、明治初年に作曲された＜君が代＞の音階だと考えられる。また、「ド-レ-ミ-ソ-ラ-ド」は、坂本九「上を向いて歩こう」の基本的な音階（五音音階）としても使われた。
なお、日本の伝統的（民俗的）音階は小泉文夫とは異なって説明される、ということは充分にあり得るので、「陽」音階・「隂」音階、「都節」や「田舎節」等も含めて、さらに「調査」し、検討してみたい。
もともとは、「日本」音階での「5音」が、ピタゴラス音律や十二平均律等々が用意する12音の中のいずれかの「５音」にあたるはずだと、西欧音楽での「音階」を中心にして考察する必要はない、ということにも留意しておいてよいだろう。
第三。N01（民謡音階）とピタゴラス音階のＢ型によるＢ01の5音（6音）は、1つの音が異なるだけで、よく似ている。
三 7音（8音）。
ピタゴラス音階の7音（8音）—Ａ型。
Ａ02。1、(9／8)、(81／64)、(4／3*)、(3／2)、(27／16)、(243／128)、2。
これは、ド、レ、ミ、ファ*、ソ、ラ、シ、ド、に該当する。但し、「ファ」だけはＢ型を利用している。
ピタゴラス音階の7音（8音）—Ｂ型 。
Ｂ02。1、(256／243)、(32／27)、(4／3)、(1024／729)、(128／81)、(16／9)、2。
これは、ド、レ♭、ミ♭、ファ、ソ♭、ラ♭、シ♭、ド、に該当する。
＜秋月音階＞の7音（8音）。3とおり得られた。以下で「*」が付いている数値は、ピタゴラス音階では「Ｂ型」によって得られるもの。
Ｐ。1、(9／8)、(81／64)、(4／3)*、(3／2)、(27／16)、(243／126)、2.
これは、ド、レ、ミ、ファ*、ソ、ラ、シ、ド、に該当する。
Ｑ。1、(9／8)、(32／27)*、(4／3)*、(3／2)、(27／16)、(16／9)*、2.
これは、ド、レ、ミ♭* 、ファ*、ソ、ラ、シ♭* 、ド、に該当する。
Ｒ。1、(256／243)*、(32／27)*、(4／3)*、(3／2)、(128／81)*、(16／9)*、2.
これは、ド、レ♭* 、ミ♭* 、ファ*、ソ、ラ♭* 、シ♭* 、ド、に該当する。
四 若干のコメント—その二。
第一。上記のとおり、A02とＰは同一だ。ド-レ-ミ-ファ-ソ-ラ-シ-ド。
ピタゴラス音階での7音（8音）と同じ配列が、＜秋月音階＞でも、（12音（13音）の設定過程で）得られていることになる。
第二。上のＰ、Q、Ｒに出てくる全ての音を、小さい順に並べると、つぎのようになる。
1,(256／243)*,(9／8),(32／27)*,(81／64),(4／3)*,(3／2),(128／81)*,(27／16),(16／9)*,(243／126),2.
これは、ド、レ♭*、レ、ミ♭*、ミ、ファ*、ソ、ラ♭*、ラ、シ♭*、シ、ド、に該当する。
上には11音があるので、7音（8音）設定の段階ですでに、12音（13音）のうち11音（12音）が得られていることになる。
欠落しているのは、ファとソの間、ファ♯またはソ♭だけだ。
第三。上の最後に触れた、「ファ♯」と「ソ♭」のいずれを採用するするかで、いわゆる「ピタゴラス・コンマ」の解消の仕方が異なる、ということになるのかもしれない。「ファ♯」=(729／512)、「ソ♭」=(1024／729)。
Ｂ02では、すでに、ソ♭*（1024／729）が登場している。これを利用すると、1オクターブ12音（13音）をすでに設定できることになる。
第四。しかし、「ピタゴラス音階」での12音（13音）設定（ピタゴラス・コンマの解消を含む）は、そのように単純なものではない。
なぜなら、ド♯＝レ♭、レ♯＝ミ♭、ファ♯＝ソ♭、ソ♯＝ラ♭、ラ♯＝シ♭、ではないからだ。Ａ型とＢ型の計算過程の全体（前回に記載）を参照。
Ａ型で得られる音（上の等号の左・前者）をどこまで採用し、Ｂ型で得られる音（右・後者）をどこまで採用するか、という問題が残っている。
ピタゴラス音律または「ピタゴラス音階」を説明する、「音大卒」の方々のものを含む文献や文章は、上の問題を厳密には叙述していないように思えるのだが。
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