一 前回までに作り出す事のできた二種の「5音」音階とは、つぎだ。便宜的に、それぞれX、Zと称しておこう。
X—①1、②9/8、③4/3、④3/2、⑤27/16、⑥2。
Z—①1、②32/27、③4/3、④3/2、⑤16/9、⑥2。
間差の広い箇所に新しい音を設定する。5つある間差の数値は、つぎのとおり。
X—①②9/8、②③32/27(=(4/3)÷(9/8))、③④9/8、④⑤9/8(=(27/16)÷(3/2))、⑤⑥32/27(=2÷(27/16))。
最大は32/27で、2箇所ある。残りの3箇所は、9/8。
Z—①②32/27、②③9/8(=(4/3)÷(32/27)、③④9/8、④⑤32/27(=(16/9)÷(3/2))、⑤⑥9/8(=2÷(16/9))。
最大は32/27で、2箇所ある。残りの3箇所は、9/8。
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二 この最大の(間差が広い=周波数比が最も大きい)32/27を二つの部分に分割しよう。Xでは、②③の間と、⑤⑥の間。Zでは、①②の間と④⑤の間。
そうすると、32/27は2箇所にあるので、新しい音が二つ増える。そして、既存の5音に加えて、計7音になるはずだ。
分割方法は無限にあり得るが、つぎの三つの方法を合理的なものとして選択できる、と考えられる。
まず、すでに9/8という数値を利用していることを参照して、32/27を9/8と残余の部分に分ける方法が考えられる。こも場合は、厳密には二つに分かれる。
第一に、9/8を先に置き、(9/8)×α=32/27とする。この場合のα=256/243であることが容易に計算できる。
第二に、9/8を後ろに置き、(256/243)×(9/8)=32/27とする。
既存の音(の数値)にこれら二つの数値のいずれを乗じるかを決めておく必要があるので、上の第一と第二は区別しなければならない。
これら以外に第三に、32/27の「中間値」で二つに分割することが考えられる。この「中間値」はもちろん「16/27」ではなく、32/27と64/27の「中間値」である48/27でもない。
正解は、<2乗すれば32/27となる数値>、すなわち<(32/27)の2乗根>だ。後述もするように、この数値を「β」と称することにする。これを分数表示することはできないし、「無理数」なので、小数化すると無限に数字がつづく。
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三 上の三つの方法の順序で、二分割作業を、以下に行なう。結果として計「7音」を得ることができる。その場合の「7音」音階を、便宜的にそれぞれ、XX、ZZと表記しよう。
第一のXX関連。元の②③、⑤⑥の各間差が、32/27だ。
(1) 9/8(②)×(9/8)=81/64。なお、(81/64)×(256/243)=4/3で、元の③の数値となる。
(2) (27/16)(⑤)×(9/8)=(243/128)。なお、(243/128)×(256/243)=2で、元の⑥に戻る。
以上で、元の「5音」以外に、新しく、(81/64)と(243/128)の二つの数値が得られた。
元のXの「5音」にこれらを加えて挿入し、小さい(周波数比の小さい)順に改めて並べ直すと、つぎのようになる。
XXの01。
①1、②9/8、③81/64、④4/3、⑤3/2、⑥27/16、⑦243/128、⑧2。
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次いで、第一のZZ関連。元の①②、④⑤の各間差が、32/27だ。
(1) 1(①)×(9/8)=(9/8)。なお、(9/8)×(256/243)=32/27で、元の②の数値となる。
(2) 3/2(④)×(9/8)=(27/16)。なお、(27/16)×(256/243)=(16/9)で、元の⑤に戻る。
以上で、元の「5音」以外に、新しく、(9/8)と(27/16)の二つの数値が得られた。
元のZの「5音」にこれらを加えて挿入し、小さい(周波数比の小さい)順に改めて並べ直すと、つぎのようになる。
ZZの01。
①1、②9/8、③32/27、④4/3、⑤3/2、⑥27/16、⑦16/9、⑧2。
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四 次に、(256/243)を先に乗じる、第二の方法を採用する。
第二のXX関連。元の②③、⑤⑥の各間差が、32/27だ。
(1) (9/8)(②)×(256/243)=(32/27)。なお、(32/27)×(9/8)=4/3で、元の③の数値となる。
(2) (27/16)(⑤)×(256/243)=(16/9)。なお、(16/9)×(9/8)=2で、元の⑥に戻る。
以上で、元の「5音」以外に、新しく、(32/27)と(16/9)の二つの数値が得られた。
Xの元の「5音」にこれらを加えて挿入し、小さい(周波数比の小さい)順に改めて並べ直すと、つぎのようになる。
XXの02。
①1、②9/8、③32/27、④4/3、⑤3/2、⑥27/16、⑦16/9、⑧2。
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次いで、第二のZZ関連。元の①②、④⑤の各間差が、32/27だ。
(1) 1(①)×(256/243)=(256/243)。なお、(256/243)×(9/8)=(32/27)で、元の②の数値となる。
(2) (3/2)(④)×(256/243)=(128/81)。なお、(128/81)×(9/8)=16/9で、元の⑤に戻る。
以上で、元の「5音」以外に、新しく、(256/243)と(128/81)の二つの数値が得られた。
Zの元の「5音」にこれらを加えて挿入し、小さい(周波数比の小さい)順に改めて並べ直すと、つぎのようになる。
ZZの02。
①1、②256/243、③32/27、④4/3、⑤3/2、⑥128/81、⑦16/9、⑧2。
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五 第三の方法は、32/27を、「2乗すれば(32/27)になる数値」で分割する。この「(32/27)の2乗根」を、「β」と簡称する。この方法による場合は、間差の32/27を構成する大小のどちらの数値からβでの乗除を行っても、結果は異ならない。
なお、この「β」=「(32/27)の2乗根」は1.088662…なので、「9/8」(1.125)よりも小さい。
第三のXX関連。元の②③、⑤⑥の各間差が32/27だ。
(1) (9/8)×β=(9/8)β。なお、(9/8)β×β=(4/3)。
(2) (27/16)×β=(27/16)β。なお、(27/16)β×β=2。
以上で、元の「5音」とは異なる、新しい、(9/8)β、(27/16)βを得られた。
Xの元の「5音」にこれらを加えて挿入し、小さい(周波数比の小さい)順に改めて並べ直すと、つぎのようになる。
XXの03。
①1、②9/8、③(9/8)β=約1.225、④4/3、⑤3/2、⑥27/16、⑦(27/16)β=約1.838、⑧2。
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次いで、第三のZZ関連。元の①②、④⑤の各間差が32/27だ。
(1) 1(①)×β=β。なお、β×β=(32/27)。
(2) (3/2)×β=(3/2)β。なお、(3/2)β×β=(16/9)。
以上で、元の「5音」とは異なる、新しい、βと(3/2)βを得られた。
Z の元の「5音」にこれらを挿入し、小さい(周波数比の小さい)順に改めて並べ直すと、つぎのようになる。
ZZの03。
①1、②β、③32/27、④4/3、⑤3/2、⑥(3/2)β、⑦16/9、⑧2。
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六 これで、最初のXとZの「5音」音階を基礎にして、計6種の「7音」音階を、秋月瑛二なりに作り出すことができた。
種々の数字・数値が登場しているが、振り返って、重要な数字・数値を挙げると、つぎのとおりだ。
第一に、4/3と3/2。この二つは古代人もすみやかに気づいた、核となる数字だっただろう。当初はあるいは(3と1/3ではなく)3/2と2/3だったかもしれない。後者の2/3は容易に4/3に転化した。
第二に、(3/2)÷(4/3)で得られる、9/8という数字。
私は<ピタゴラス音律での全音>が(9/8)で<ピタゴラス音律での半音>が(256/243)であることをすでに知っているので、(9/8)から出発すればピタゴラス音律での音階と似たものができるだろうと想定はしていた。
しかし、9/8とは上記のとおり<(2/3)と(3/2)>という原初的二音の間差(周波数比)なのであり、この数字は論理的には必ずピタゴラス音律につながるものではないように思われる。
第三に、「5音」設定終了の段階で生じた、相互の音の間差のうち最大の間差(周波数比)を示す、「32/27」という数字。
第四に、(32/27)を二分割する場合に登場した、(32/27)÷(9/8)の結果としての、256/243という数字。
最後に、(32/27)から生じる、「(32/27)の2乗根」=「β」。
これらの数字・数値を組み合わせて、六種の「7音」音階ができたわけだ。ピタゴラス音律での計算方法である、3または3/2を乗じつづけて、かつ2の自乗数で除する(「シャープ系」の場合)ようなことをしなかった。
----
七 正確には、6種ではない。それぞれの音階を、①数値、②1=ド=Cとした場合の十二平均律での近い数値の音(ドレミ)の順に、並べてみよう。第三の方法による場合は除く。
①XX01—1、9/8、81/64、4/3、3/2、27/16、243/128、2。
—ド・レ・ミ・ファ・ソ・ラ・シ・ド。
②ZZ01—1、9/8、32/27、4/3、3/2、27/16、16/9、2。
—ド、レ、ミ♭、ファ、ソ、ラ、シ♭、ド。
③XX02—1、9/8、32/27、4/3、3/2、27/16、16/9、2。
—ド、レ、ミ♭、ファ、ソ、ラ、シ♭、ド。
これは②と同じ。「移調」すると、ラ、シ、ド、レ、ミ、ファ、ソ、ラになる。これの並び方を—「移調」することなく—変更すると、ド、レ、ミ、ファ、ソ、ラ、シ、ドにもなる。
④ZZ02—1、256/243、32/27、4/3、3/2、128/81、16/9、2。
—ド、レ♭、ミ♭、ファ、ソ、ラ♭、シ♭、ド。
これは、ラ♭がドになるよう「移調」して全体を並べると、ミ、ファ、ソ、ラ、シ、ド、レ、ミになる。さらにこれの並び方を変更すると、ド〜ドにも、ラ〜ラにもなる。
----
以下は参考として再び付記。
⑤XX03—1、9/8、(9/8)×β、4/3、3/2、27/16、(27/16)×β、2。
⑥ZZ03—1、β、32/27、4/3、3/2、(3/2)×β、16/9、2。
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八 検討作業がこれで終わったのではない。
つぎの問題は、これまでの発想や検討作業の過程を継続して、「8音」音階や「9音」音階を作ることはできないのか、できないとすればそれは何故か、だ。
<「ドレミ…」はなぜ7音なのか。>
——
X—①1、②9/8、③4/3、④3/2、⑤27/16、⑥2。
Z—①1、②32/27、③4/3、④3/2、⑤16/9、⑥2。
間差の広い箇所に新しい音を設定する。5つある間差の数値は、つぎのとおり。
X—①②9/8、②③32/27(=(4/3)÷(9/8))、③④9/8、④⑤9/8(=(27/16)÷(3/2))、⑤⑥32/27(=2÷(27/16))。
最大は32/27で、2箇所ある。残りの3箇所は、9/8。
Z—①②32/27、②③9/8(=(4/3)÷(32/27)、③④9/8、④⑤32/27(=(16/9)÷(3/2))、⑤⑥9/8(=2÷(16/9))。
最大は32/27で、2箇所ある。残りの3箇所は、9/8。
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二 この最大の(間差が広い=周波数比が最も大きい)32/27を二つの部分に分割しよう。Xでは、②③の間と、⑤⑥の間。Zでは、①②の間と④⑤の間。
そうすると、32/27は2箇所にあるので、新しい音が二つ増える。そして、既存の5音に加えて、計7音になるはずだ。
分割方法は無限にあり得るが、つぎの三つの方法を合理的なものとして選択できる、と考えられる。
まず、すでに9/8という数値を利用していることを参照して、32/27を9/8と残余の部分に分ける方法が考えられる。こも場合は、厳密には二つに分かれる。
第一に、9/8を先に置き、(9/8)×α=32/27とする。この場合のα=256/243であることが容易に計算できる。
第二に、9/8を後ろに置き、(256/243)×(9/8)=32/27とする。
既存の音(の数値)にこれら二つの数値のいずれを乗じるかを決めておく必要があるので、上の第一と第二は区別しなければならない。
これら以外に第三に、32/27の「中間値」で二つに分割することが考えられる。この「中間値」はもちろん「16/27」ではなく、32/27と64/27の「中間値」である48/27でもない。
正解は、<2乗すれば32/27となる数値>、すなわち<(32/27)の2乗根>だ。後述もするように、この数値を「β」と称することにする。これを分数表示することはできないし、「無理数」なので、小数化すると無限に数字がつづく。
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三 上の三つの方法の順序で、二分割作業を、以下に行なう。結果として計「7音」を得ることができる。その場合の「7音」音階を、便宜的にそれぞれ、XX、ZZと表記しよう。
第一のXX関連。元の②③、⑤⑥の各間差が、32/27だ。
(1) 9/8(②)×(9/8)=81/64。なお、(81/64)×(256/243)=4/3で、元の③の数値となる。
(2) (27/16)(⑤)×(9/8)=(243/128)。なお、(243/128)×(256/243)=2で、元の⑥に戻る。
以上で、元の「5音」以外に、新しく、(81/64)と(243/128)の二つの数値が得られた。
元のXの「5音」にこれらを加えて挿入し、小さい(周波数比の小さい)順に改めて並べ直すと、つぎのようになる。
XXの01。
①1、②9/8、③81/64、④4/3、⑤3/2、⑥27/16、⑦243/128、⑧2。
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次いで、第一のZZ関連。元の①②、④⑤の各間差が、32/27だ。
(1) 1(①)×(9/8)=(9/8)。なお、(9/8)×(256/243)=32/27で、元の②の数値となる。
(2) 3/2(④)×(9/8)=(27/16)。なお、(27/16)×(256/243)=(16/9)で、元の⑤に戻る。
以上で、元の「5音」以外に、新しく、(9/8)と(27/16)の二つの数値が得られた。
元のZの「5音」にこれらを加えて挿入し、小さい(周波数比の小さい)順に改めて並べ直すと、つぎのようになる。
ZZの01。
①1、②9/8、③32/27、④4/3、⑤3/2、⑥27/16、⑦16/9、⑧2。
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四 次に、(256/243)を先に乗じる、第二の方法を採用する。
第二のXX関連。元の②③、⑤⑥の各間差が、32/27だ。
(1) (9/8)(②)×(256/243)=(32/27)。なお、(32/27)×(9/8)=4/3で、元の③の数値となる。
(2) (27/16)(⑤)×(256/243)=(16/9)。なお、(16/9)×(9/8)=2で、元の⑥に戻る。
以上で、元の「5音」以外に、新しく、(32/27)と(16/9)の二つの数値が得られた。
Xの元の「5音」にこれらを加えて挿入し、小さい(周波数比の小さい)順に改めて並べ直すと、つぎのようになる。
XXの02。
①1、②9/8、③32/27、④4/3、⑤3/2、⑥27/16、⑦16/9、⑧2。
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次いで、第二のZZ関連。元の①②、④⑤の各間差が、32/27だ。
(1) 1(①)×(256/243)=(256/243)。なお、(256/243)×(9/8)=(32/27)で、元の②の数値となる。
(2) (3/2)(④)×(256/243)=(128/81)。なお、(128/81)×(9/8)=16/9で、元の⑤に戻る。
以上で、元の「5音」以外に、新しく、(256/243)と(128/81)の二つの数値が得られた。
Zの元の「5音」にこれらを加えて挿入し、小さい(周波数比の小さい)順に改めて並べ直すと、つぎのようになる。
ZZの02。
①1、②256/243、③32/27、④4/3、⑤3/2、⑥128/81、⑦16/9、⑧2。
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五 第三の方法は、32/27を、「2乗すれば(32/27)になる数値」で分割する。この「(32/27)の2乗根」を、「β」と簡称する。この方法による場合は、間差の32/27を構成する大小のどちらの数値からβでの乗除を行っても、結果は異ならない。
なお、この「β」=「(32/27)の2乗根」は1.088662…なので、「9/8」(1.125)よりも小さい。
第三のXX関連。元の②③、⑤⑥の各間差が32/27だ。
(1) (9/8)×β=(9/8)β。なお、(9/8)β×β=(4/3)。
(2) (27/16)×β=(27/16)β。なお、(27/16)β×β=2。
以上で、元の「5音」とは異なる、新しい、(9/8)β、(27/16)βを得られた。
Xの元の「5音」にこれらを加えて挿入し、小さい(周波数比の小さい)順に改めて並べ直すと、つぎのようになる。
XXの03。
①1、②9/8、③(9/8)β=約1.225、④4/3、⑤3/2、⑥27/16、⑦(27/16)β=約1.838、⑧2。
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次いで、第三のZZ関連。元の①②、④⑤の各間差が32/27だ。
(1) 1(①)×β=β。なお、β×β=(32/27)。
(2) (3/2)×β=(3/2)β。なお、(3/2)β×β=(16/9)。
以上で、元の「5音」とは異なる、新しい、βと(3/2)βを得られた。
Z の元の「5音」にこれらを挿入し、小さい(周波数比の小さい)順に改めて並べ直すと、つぎのようになる。
ZZの03。
①1、②β、③32/27、④4/3、⑤3/2、⑥(3/2)β、⑦16/9、⑧2。
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六 これで、最初のXとZの「5音」音階を基礎にして、計6種の「7音」音階を、秋月瑛二なりに作り出すことができた。
種々の数字・数値が登場しているが、振り返って、重要な数字・数値を挙げると、つぎのとおりだ。
第一に、4/3と3/2。この二つは古代人もすみやかに気づいた、核となる数字だっただろう。当初はあるいは(3と1/3ではなく)3/2と2/3だったかもしれない。後者の2/3は容易に4/3に転化した。
第二に、(3/2)÷(4/3)で得られる、9/8という数字。
私は<ピタゴラス音律での全音>が(9/8)で<ピタゴラス音律での半音>が(256/243)であることをすでに知っているので、(9/8)から出発すればピタゴラス音律での音階と似たものができるだろうと想定はしていた。
しかし、9/8とは上記のとおり<(2/3)と(3/2)>という原初的二音の間差(周波数比)なのであり、この数字は論理的には必ずピタゴラス音律につながるものではないように思われる。
第三に、「5音」設定終了の段階で生じた、相互の音の間差のうち最大の間差(周波数比)を示す、「32/27」という数字。
第四に、(32/27)を二分割する場合に登場した、(32/27)÷(9/8)の結果としての、256/243という数字。
最後に、(32/27)から生じる、「(32/27)の2乗根」=「β」。
これらの数字・数値を組み合わせて、六種の「7音」音階ができたわけだ。ピタゴラス音律での計算方法である、3または3/2を乗じつづけて、かつ2の自乗数で除する(「シャープ系」の場合)ようなことをしなかった。
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七 正確には、6種ではない。それぞれの音階を、①数値、②1=ド=Cとした場合の十二平均律での近い数値の音(ドレミ)の順に、並べてみよう。第三の方法による場合は除く。
①XX01—1、9/8、81/64、4/3、3/2、27/16、243/128、2。
—ド・レ・ミ・ファ・ソ・ラ・シ・ド。
②ZZ01—1、9/8、32/27、4/3、3/2、27/16、16/9、2。
—ド、レ、ミ♭、ファ、ソ、ラ、シ♭、ド。
③XX02—1、9/8、32/27、4/3、3/2、27/16、16/9、2。
—ド、レ、ミ♭、ファ、ソ、ラ、シ♭、ド。
これは②と同じ。「移調」すると、ラ、シ、ド、レ、ミ、ファ、ソ、ラになる。これの並び方を—「移調」することなく—変更すると、ド、レ、ミ、ファ、ソ、ラ、シ、ドにもなる。
④ZZ02—1、256/243、32/27、4/3、3/2、128/81、16/9、2。
—ド、レ♭、ミ♭、ファ、ソ、ラ♭、シ♭、ド。
これは、ラ♭がドになるよう「移調」して全体を並べると、ミ、ファ、ソ、ラ、シ、ド、レ、ミになる。さらにこれの並び方を変更すると、ド〜ドにも、ラ〜ラにもなる。
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以下は参考として再び付記。
⑤XX03—1、9/8、(9/8)×β、4/3、3/2、27/16、(27/16)×β、2。
⑥ZZ03—1、β、32/27、4/3、3/2、(3/2)×β、16/9、2。
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八 検討作業がこれで終わったのではない。
つぎの問題は、これまでの発想や検討作業の過程を継続して、「8音」音階や「9音」音階を作ることはできないのか、できないとすればそれは何故か、だ。
<「ドレミ…」はなぜ7音なのか。>
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